2025 年 CWMI 的几何题的解答（一）

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今年西部数学邀请赛第一天的几何题（P1）的解答

1. 题目

如图，在凸五边形 ABCDEABCDE 中，已知 ∠ACB=∠ADE\angle ACB = \angle ADE，∠BAC+∠CDE=180∘\angle BAC + \angle CDE = 180^\circ，∠DAE+∠BCD=180∘\angle DAE + \angle BCD = 180^\circ。证明：AB=AEAB=AE。

题目

2. 分析

这个题目乍一看似曾相识，不过想不起来是在哪儿见过了。

辅助线比较简单，从题目的条件很容易想到构造 ∠CDE\angle CDE 和 ∠BCD\angle BCD 的补角。向下、向两边构造都可以。

图中有大量的等角，可以用相似或正弦定理来处理。

3. 解答一

延长 BCBC、EDED 交于点 FF。设 ∠ACB=∠ADE=α\angle ACB=\angle ADE=\alpha，∠BAC=β\angle BAC=\beta，∠DAE=γ\angle DAE=\gamma。

解答一

则

∠FCD=π−∠BCD=γ∠FDC=π−∠CDE=β∠ABC=π−α−β=∠ADC∠AED=π−α−γ=∠ACD \begin{aligned} \angle FCD & = \pi-\angle BCD = \gamma \\ \angle FDC & = \pi-\angle CDE = \beta \\ \angle ABC & = \pi-\alpha-\beta = \angle ADC \\ \angle AED & = \pi-\alpha-\gamma = \angle ACD \end{aligned}

由正弦定理可知

ABAC=sin⁡αsin⁡(π−α−β)ACAD=sin⁡(π−α−β)sin⁡(π−α−γ)ADAE=sin⁡(π−α−γ)sin⁡α \begin{aligned} \frac{AB}{AC} &= \frac{\sin \alpha}{\sin (\pi-\alpha-\beta)} \\[2ex] \frac{AC}{AD} &= \frac{\sin (\pi-\alpha-\beta)}{\sin (\pi-\alpha-\gamma)} \\[2ex] \frac{AD}{AE} &= \frac{\sin (\pi-\alpha-\gamma)}{\sin \alpha} \end{aligned}

三个式子相乘可得 AB/AE=1AB/AE = 1，即 AB=AEAB=AE，命题得证。

4. 解法二

延长 ABAB、AEAE 和直线 CDCD 交于点 MM、NN。设 ∠ACB=∠ADE=α\angle ACB=\angle ADE=\alpha，∠BAC=β\angle BAC=\beta，∠DAE=γ\angle DAE=\gamma，则

∠MCB=π−∠BCD=γ∠NDE=π−∠CDE=β \begin{aligned} \angle MCB & = \pi-\angle BCD = \gamma \\ \angle NDE & = \pi-\angle CDE = \beta \end{aligned}

解答二

因此

∠AMC=π−α−β−γ=∠AND \angle AMC = \pi-\alpha-\beta-\gamma = \angle AND

可知 AM=ANAM = AN。

同时我们还可以得到相似：

△MCB∼△NAD  ⟹  MBND=MCNA△NDE∼△MAC  ⟹  NEMC=NDMA \begin{aligned} \triangle MCB \sim \triangle NAD & \implies \frac{MB}{ND}=\frac{MC}{NA} \\[2ex] \triangle NDE \sim \triangle MAC & \implies \frac{NE}{MC}=\frac{ND}{MA} \end{aligned}

可知

MB⋅NA=ND⋅MC=NE⋅MA MB\cdot NA = ND\cdot MC = NE\cdot MA

因此 MB=NEMB=NE，可知 AB=AEAB=AE。