垂足三角形、等角共轭点与「六点圆」

起因

我在使用Qwen3.7-Max重测今年USAMO第5题的时候，发现它找到了一个之前AI都没有发现的结论：点 $N$ 是 $K$ 关于 $\triangle O_A O_B O_C$ 的等角共轭点。

这其实是一个一般成立的结论：

设点 $K$ 关于 $\triangle O_AO_BO_C$ 三边的对称点为 $D$、$E$、$F$，则 $\triangle DEF$ 的外心 $N$ 是点 $K$ 关于 $\triangle O_AO_BO_C$ 的等角共轭点。

我在看到这个题的时候，由于解得比较快，加之当时主要是想找一个难度合适的新题来测试AI，因此也没有深究，就没有发现这个条件。

实际上，这是一个和等角共轭点相关的经典结论。

1. 等角共轭点

考虑 $\triangle ABC$ 和一点 $P$。为了简化，我们要求点 $P$ 不在直线 $AB$、$BC$、$CA$ 上，且不在 $\triangle ABC$ 的外接圆上。

设 $\triangle ABC$ 的内心为 $I$，依次作 $AP$、$BP$、$CP$ 关于角平分线 $AI$、$BI$、$CI$ 的的对称直线，由角元塞瓦定理的逆定理可知这三条线交于一点，设交点为 $Q$。我们称点 $Q$ 是点 $P$ 关于 $\triangle ABC$ 的等角共轭点。

最经典的一组等角共轭点就是垂心和外心，与之相关的是一个九点圆的经典结论：九点圆的圆心位于垂心和外心的中点。

2. 垂足三角形

考虑 $\triangle ABC$ 和一点 $P$。我们要求点 $P$ 不在 $\triangle ABC$ 的顶点上。

我们将点 $P$ 在 $\triangle ABC$ 的三边上的投影 $P_a$、$P_b$、$P_c$ 构成的三角形称为点 $P$ 关于 $\triangle ABC$ 的垂足三角形。对应的，$\triangle P_aP_bP_c$ 的外接圆称为垂足圆。

特别地，当点 $P$ 在 $\triangle ABC$ 的外接圆上时，退化为 $P_a$、$P_b$、$P_c$ 共线（即西姆松线）。

3. 六点圆

接下来我们要证明的结论是「九点圆」的推广：

考虑一对等角共轭点 $P$ 和 $Q$，它们对应的垂足三角形 $\triangle P_aP_bP_c$ 和 $\triangle Q_aQ_bQ_c$ 的六个顶点共圆，且圆心是 $P$、$Q$ 的中点。

即等角共轭点的垂足圆重合。

可以看到，当 $P$ 和 $Q$ 分别是垂心和外心的时候，这个垂足圆就是 $\triangle ABC$ 的九点圆。

证明的思路主要有两个。

一个是先证明两组四点共圆：$P_b$、$Q_b$、$P_c$、$Q_c$ 共圆，$P_c$、$Q_c$、$P_a$、$Q_a$ 共圆，然后证明这两个圆重合。

另一个是直接证明 $\triangle P_aP_bP_c$ 和 $\triangle Q_aQ_bQ_c$ 的外接圆重合。

3.1. 证明一

注意到

$$\frac{AP_b}{AP_c} = \frac{\cos \angle PAC}{\cos \angle PAB} = \frac{\cos \angle QAB}{\cos \angle QAC} = \frac{AQ_c}{AQ_b}$$

于是有 $AP_b\cdot AQ_b = AP_c\cdot AQ_c$，故 $P_b$、$P_c$、$Q_b$、$Q_c$ 四点共圆。

圆心为 $P_bQ_b$ 和 $P_cQ_c$ 的垂直平分线的交点，即 $P$、$Q$ 中点。

同理可证，$P_c$、$P_a$、$Q_c$、$Q_a$ 四点共圆，圆心为为 $P_cQ_c$ 和 $P_aQ_a$ 的垂直平分线的交点，也是 $P$、$Q$ 中点。因此两个圆重合。

故 $P_a$、$P_b$、$P_c$、$Q_a$、$Q_b$、$Q_c$ 六点共圆。

3.2. 证明二

我们先考虑点 $P$ 的垂足三角形。可以证明一个引理：

点 $Q$ 和 $\triangle ABC$ 三个顶点的连线，分别垂直于点 $P$ 关于 $\triangle ABC$ 的垂足三角形的三条边。

证明

我们只需要证明 $QA\perp P_bP_c$ 即可。这个比较简单：

$$\left. \begin{gathered} \measuredangle QAB = \measuredangle CAP = \measuredangle P_bP_cP \\ AB \perp PP_c \end{gathered} \right\} \implies QA \perp P_bP_c$$

同理可知另外两组 $QB\perp P_cP_a$、$QC\perp P_aP_b$ 也成立。

实际上，这是得到等角共轭点的第二种方法：

过 $\triangle ABC$ 的三个顶点，分别向点 $P$ 的垂足三角形的三条边作垂线，则这三条垂线交于点 $P$ 的等角共轭点。

接下来，我们设点 $P$ 关于 $\triangle ABC$ 三条边的对称点依次为 $P_1$、$P_2$、$P_3$。我们可以证明：

点 $Q$ 是 $\triangle P_1P_2P_3$ 的外心。

证明

由对称可知，$AP_2=AP=AP_3$。有前面的引理可知 $QA\perp P_bP_c$，于是有 $QA\perp P_2P_3$，因此 $QA$ 是 $P_2P_3$ 的垂直平分线。

类似的，$QB$ 是 $P_3P_1$ 的垂直平分线，因此点 $Q$ 是 $\triangle P_1P_2P_3$ 的外心。

这其实是得到等角共轭点的第三种方法。

设 $\triangle P_aP_bP_c$ 的外心为 $N$。

我们可以看到，$\triangle P_aP_bP_c$ 和 $\triangle P_1P_2P_3$ 位似，位似中心为 $P$，位似比为 $1:2$。

因此它们的外接圆也位似，两个圆心与位似中心共线，且满足 $NP:QP=1:2$，即点 $N$ 是 $P$、$Q$ 的中点。

同理，我们考虑点 $Q$ 的垂足三角形 $\triangle Q_aQ_bQ_c$，则它的外心也是 $P$、$Q$ 的中点 $N$。

注意到 $N$ 是直角梯形 $PQQ_aP_a$ 的斜边中点，因此 $NP_a=NQ_a$，即两个外接圆的半径相等。故 $\triangle P_aP_bP_c$ 和 $\triangle Q_aQ_bQ_c$ 的外接圆重合。

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参考资料：

• Advanced Euclidean Geometry, Roger A. Johnson