2026年高联二试（A卷）几何题的解答

1. 题目

如图，在锐角三角形 $ABC$ 中，$AB<AC$，$AD$ 是 $BC$ 边上的高，$H$ 为垂心，$O$ 为外心，$N$ 为 $HO$ 的中点，线段 $BD$ 内一点 $P$ 满足 $\angle PND = 2\angle PAD$。

证明：直线 $BC$ 与三角形 $AOP$ 的外接圆相切。

2. 分析

这个题虽然本身和Humpty点不直接相关，但是如果知道其性质，可以帮助我们找到思路。

首先，$\angle PND = 2\angle PAD$ 的条件比较好处理，直接取 $AP$ 中点 $E$，显然 $E$、$P$、$D$、$N$ 共圆。

接下来的问题是，如何处理中点 $N$，以及要如何证明结论。

我们先从结论出发。过点 $A$、$O$ 且与直线 $BC$ 相切的圆有两个，其中一个的切点为 $P$，我们设另一个的切点为 $Q$。显然，点 $O$ 是 $\triangle APQ$ 的A-Humpty点。

关于Humpty点，除了前面的两篇文章^{1, 2}里面介绍的性质之外，还有一个常用的性质：

设点 $X$ 为 $\triangle ABC$ 的A-Humpty点。则

$ABZC$ 为调和四边形 $\iff Z$ 和 $X$ 关于 $BC$ 对称

证明

先证明充分性。由点 $X$ 的性质可知，点 $Z$ 在 $\triangle ABC$ 的外接圆上，且在 $\triangle ABC$ 的A-Apollonius圆上，因此

$$\frac{AB}{AC}=\frac{ZB}{ZC} \implies AB\cdot ZC = AC\cdot ZB \implies ABZC \,\text{为调和四边形}$$

另证：

设点 $S$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆在点 $A$ 处的切线与直线 $BC$ 的交点，由点 $X$ 的性质可知，$SX$ 是 $\triangle BHC$ 的外接圆在点 $X$ 处的切线。

由对称性可知，$SZ$ 是 $\triangle ABC$ 的外接圆在点 $Z$ 处的切线，因此 $ABZC$ 为调和四边形。

由点 $Z$ 的唯一性可知必要性也成立。

在本题中，我们作点 $O$ 关于 $BC$ 的对称点 $Z$，则 $APZQ$ 为调和四边形。

同时，根据

$$AH=2OM \implies AH=OZ$$

可知 $N$ 也是 $AZ$ 的中点。

结合前面 $E$、$P$、$D$、$N$ 共圆的条件，我们对称的取 $AQ$ 中点 $F$，由位似可知 $A$、$E$、$N$、$F$ 共圆，因此右边 $F$、$Q$、$D$、$N$ 也共圆。

实际上，这个图本身就可以得到一个调和四边形的结论：

在 $\triangle APQ$ 中，$AD$ 为高，$E$、$F$ 分别是 $AP$、$AQ$ 中点，点 $N$ 是 $D$、$E$、$F$ 关于 $\triangle APQ$ 的密克点，点 $Z$ 是 $A$ 关于 $N$ 的对称点，则 $APZQ$ 为调和四边形。

证明就是位似+简单的倒角即可。

到这里，我们基本就找到了证明所需的路径：

$EPDN$ 共圆 $\implies$ 调和四边形 $APZQ \implies$ Humpty点 $O$

3. 解答

作 $O$ 关于 $BC$ 的对称点 $Z$，则

$$OZ=AH,\, OZ\parallel AH \implies \text{平行四边形}\, AHZO \implies N \,\text{为}\, AZ \,\text{中点}$$

设 $\triangle APZ$ 的外接圆与直线 $BC$ 交于另一点 $Q$，分别取 $AP$ 中点 $E$、$AQ$ 中点 $F$，则 $EF\parallel PQ$，$\triangle NEF\sim \triangle ZPQ$。

由 $E$ 是 $AP$ 中点可知 $EA=ED=EP$，故

$$\angle PED = 2\angle PAD = \angle PND$$

因此 $E$、$P$、$D$、$N$ 共圆。设其圆心为 $O_1$，则

$$ED=EP \implies EO_1 \perp PD \implies EO_1 \perp EF$$

可知 $EF$ 为 $\odot O_1$ 的切线，因此

$$\angle ZPQ = \angle NEF = \angle APN$$

注意到 $N$ 是 $AZ$ 的中点，可知 $APZQ$ 为调和四边形。故

$$\begin{aligned} \angle OPQ & = \angle ZPQ = \angle APN \\ \angle OQP & = \angle ZQP = \angle AQN \end{aligned}$$

因此 $N$ 和 $O$ 关于 $\triangle APQ$ 等角共轭，故

$$\angle OAP = \angle NAQ = \angle ZPQ = \angle OPQ$$

可知直线 $BC$ 与三角形 $AOP$ 的外接圆相切，结论成立。